.已知函数，当时，值域为，当时，值域为，…，当时，值域为，…．其中a、b为常数，a1=0，b1=1．若a=1，求数列{an}与数列{bn}的通项公式；（2

题文

.已知函数

，当

时，值域为

，当

时，值域为

，…，当

时，值域为

，…．其中a、b为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）若

，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值 题型：未知 难度：其他题型

答案

⑴∵a＝1>0，∴f(x)＝ax＋b在R上为增函数，
∴a_n＝a·a_n－1＋b＝a_n－1＋b，b_n＝b_n－1＋b(n≥2)，
∴数列{a_n}，{b_n}都是公差为b的等差数列．
又a₁=0，b₁=1,∴a_n=(n－1)b,b_n­＝1＋(n－1)b(n≥2)
⑵∵a>0，b_n＝ab_n－1＋b，∴，
由{b_n}是等比数列知为常数．又∵{b_n}是公比不为1的等比数列，则b_n－1不为常数，
∴必有b＝0．

解析

同答案

考点

据考高分专家说，试题“.已知函数，当时，值域为，当时，值域为，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。