图2-4-1是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数k由C输出，此种计算装

题文

图2-4-1是一个计算装置示意图，J₁、J₂是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J₁，J₂分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若J₁、J₂分别输入1，则输出结果1；
②若J₁输入任何固定自然数不变，J₂输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
③若J₂输入1，J₁输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．
试问：（1）若J₁输入1，J₂输入自然数n，则输出结果为多少？
（2）若J₂输入1，J₁输入自然数m，则输出结果为多少？
（3）若J₁输入自然数m，J₂输入自然数n，则输出结果为多少？



图2-4-1 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)由条件①有f(1，1)=1，由条件②知f(m，n+1)=f(m，n)+2，即当m固定时，f(m，n)成等差数列．
∴f(m，n)=f(m，1)+2(n-1).
故f(1，n)=f(1，1)+2(n-1)=2n-1．
(2)由条件③知f(m+1，1)=2f(m，1)，即f(m，1)是一等比数列．
∴f(m，1)=f(1，1)·2^m-1=2^m-1．
(3)由(1)(2)知f(m，n)=f(m，1)+2(n-1)=2^m-1+2n-2．

解析

本题信息量大，粗看不知如何入手，但若把条件写成二元函数式，并把它看作某一变量的函数，抽象出等差或等比数列模型，问题便迎刃而解．

考点

据考高分专家说，试题“图2-4-1是一个计算装置示意图，J1、.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。