已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，求证：数列{an}是等比数列，并求出通项公式．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n+1，求证：数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：∵S_n=2a_n+1，∴S_n+1=2a_n+1+1．
∴S_n+1-S_n=（2a_n+1+1）-（2a_n+1）=2a_n+1-2a_n.
∴a_n+1=2a_n．                 ①
又∵S₁=a₁=2a₁+1，∴a₁=-1≠0．
由①知，a_n≠0，
∴由

=2知，数列{a_n}是等比数列，a_n=-2^n-1．

解析

要证数列是等比数列，关键是看a_n与a_n-1之比是否为一常数，由题设还需利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n．
（1）本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明a_n≠0是非常重要的．证明中，也可以写出S_n-1=2a_n-1+1，从而得到a_n=2a_n-1，只能得到n≥2时，{a_n}是等比数列，得到n≥2时，a_n=-2^n-1，再将n=1时，a₁=-1代入验证．
（2）证明一个数列是等比数列，常用方法是：①要证明一个数列{a_n}是等比数列，只要证明对于任意自然数n，

都等于同一个常数即可．②对于一个数列，除了首项和末项（有穷数列）外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列是等比数列．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=2an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。