求证：数列{xn}是等比数列；设满足ys=,yt=共中a为常数，且1<a<,试判断，是否存在自然数M，使当n&g

题文

（Ⅰ）求证：数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）设

满足
 
y_s=

,y_t=

（s,t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1,试判断，是否存在自然
数M，使当n>M时，x_n>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅱ）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立

解析

（1）∵点

，

都在斜率为k的直线上
∴

=k，即

=k，………………………………………(1分)
故  (k－1)x_n+1=kx_n
∵k≠0,x_n+1≠1,x_n≠1，………………………………………(3分)
∴

=

=常数，∴{x_n}是公比为

的等比数列。…………(4分)
（2）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立。………(5分)
事实上，由1<a<

，得0<2a²－3a+1<1…………………………………(6分)
∵y_n=log

 (2a²－3a+1)，
∴

= log

x_n………………………………………(8分)
由（1）得{x_n}是等比数列，设公比为q>0首项为x₁，则x_n=x₁·q^n－1(n∈N)
∴

=(n－1) log

q+log

x₁
令d=log

q，故得{

}是以d为公差的等差数列。
又∵

=2t+1,

=2s+1，
∴

－

=2(t－s)
即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)，
∴d=－2………………………………………(10分)
故

=

+（n－s）(－2)=2（t+s）－2n+1（n∈N）
又∵x_n=(2a²－3a+1)

 （n∈N）
∴要使x_n>1恒成立，即须

<0………………………………………(12分)
∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+

，当M=t+s，n>M时，我们有

<0恒成立，
∴当n>M=(t+s)时，

>1恒成立。（∵0<2a²－3a+1<1）……(14分)

考点

据考高分专家说，试题“（Ⅰ）求证：数列{xn}是等比数列；（Ⅱ.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。