证明数列{an-n}是等比数列；求数列{an}的前n项和Sn；证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立。

题文

（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列{ a_n-n }是首项为1，且公比为4的等比数列（2）S _n=

（3）不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立

解析

（1）证明：由题设a_n+1="4" a_n-3n+1，得a_n+1 ^_（n+1）="4" (a_n-n), n∈N^*，
又a₁-1=1，所以数列{ a_n-n }是首项为1，且公比为4的等比数列。
（2）由（1）可知a_n - n="4" ^n-1，于是数列{ a_n}的通项公式为a_n=" 4" ^n-1+n，
所以数列{a_n}的前n项和为S _n=

。
（3）证明：对任意的n∈N^*，





。
∵对任意n∈N^*，

，∴

，
所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立。

考点

据考高分专家说，试题“（1）证明数列{an-n}是等比数列；（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。