等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，且a1=b1，a4=b4，a10=b10．求实数a1和d的值；b16是不是{an}中

题文

等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d（d≠1），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
（1）求实数a₁和d的值；
（2）b₁₆是不是{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)a_n=a₁+(n-1)d，b_n=b₁q^n-1=a₁d^n-1．
由

得


即

．
两式相除整理得d⁹+3d³+2=0．
解得d³=-2或d³=1（舍去）．
∴d=-

．
代入原方程中得a₁=

．
∴a₁=

，d=-

．
(2)由(1)得数列{a_n}、{b_n}的通项分别为
a_n=(2-n)

，b_n=-(-

)ⁿ．
故b₁₆=-(-

)¹⁶=-32

．
由(2-n)

=-32

，
解得n=34．
故b₁₆是数列{a_n}中的第34项.

解析

根据题设可知本题的等差数列、等比数列中的各项都能用a₁和d表示，从而可建立起关于a₁和d的方程组，可解出a₁和d．

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的公差和等比数列{bn}.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。