已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和．用表示；是否存在自然数和，使得成立．

题文

已知

是首项为2，公比为

的等比数列，

为它的前

项和．
（1）用

表示

；
（2）是否存在自然数

和

，使得

成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）


（2）不存在自然数c、k，使

成立

解析

（1）由

，得





（2）要使

，只要




因为

，所以

，故只要




         ①
因为

，所以

，
又

，故要使①成立，c只能取2或3


当c=2时，因为

，所以当k=1时，

不成立，从而①不成立


因为

，由

，得


，所以当

时，

，从而①不成立


当c=3时，因为

，

，
所以当k=1，2时，

不成立，从而①不成立


因为

，又

，
所以当

时，

，从而①不成立


故不存在自然数c、k，使

成立

考点

据考高分专家说，试题“已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。