题文
（本小题满分13分）已知数列
的前
项和为
，
，
，设
．
（Ⅰ）证明数列
是等比数列；
（Ⅱ）数列
满足
，设
，若对一切
不等式
恒成立，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）略（2）
解析
（Ⅰ）由于， ①
当
时，
． ②
①
②得
．
所以
．…………………………………………………2分
又
，
所以
．
因为
，且
，
所以
．
所以
．
故数列
是首项为
，公比为
的等比数列．…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，则
（
）．
．……………………………………………………………………9分
由
，得
．
即
．
所以
．
所以
．……………………………………11分
设
，
．
可知
在
为减函数，又
，
则当
时，有
．
所以
．
故当
时，
恒成立．…………………………………13分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）已知数列的前项和为，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
