已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=(n∈N*).数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；设数列|ln an|,

题文

（12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=

(n∈N*).
（1）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；
（2）设数列|ln an|,|1n bn|的前n项和分别为Sn，Tn. 若a1="2,"

. 求数列{cn}的前n项和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）略
（2）4+42+…+4n=

(4n－1)

解析

（1）{cn}是等比数列.（2分）
证明：设{an}的公比为q1(q1＞0)，{bn}的公比为q2(q2＞0)，则

·

·

≠0，故{cn}为等比数列.（5分）
（2）数列{1n an}和{1n bn}分别是公差为1n q1和1n q2的等差数列. 由条件得

=

，即

.(7分)
故对n=1,2,…,（2lnq1－1nq2）n2+(4lna1－1nq1－2lnb1+1nq2)n+(2lna1－1nq1)=0.
于是


将a1=2代入得q1="4," q2="16," b1=8.（10分）
从而有cn=

="4n." 所以数列{cn}的前n项和为4+42+…+4n=

(4n－1).(12分)

考点

据考高分专家说，试题“（12分）已知数列{an},{bn}是各.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。