设为数列{}的前n项和，＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数.(1)求及；(2)若对于任意的m∈N*，，，成等比数列，求k的值.

题文

（本小题满分12分）
设

为数列{

}的前n项和，

＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数.
(1)求

及

；
(2)若对于任意的m∈N*，

，

，

成等比数列，求k的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

＝k＋1 

＝2kn－k＋1，n∈N*
（2）k＝0，或k＝1

解析

（本小题满分12分）
解：(1)由

＝kn2＋n，得

＝

＝k＋1，  

＝

－

－1＝2kn－k＋1(n≥2).
也满足上式，所以

＝2kn－k＋1，n∈N*.
(2)由

，

，

成等比数列，得 (4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简，得2km(k－1)＝0，  因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0，或k＝1.

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设为数列{}的前n项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。