已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列；求数列的前项和．

题文

（本小题满分14分）
已知数

列

的首项

，

，

…．
（Ⅰ）证明：数列

是等比数列；
（Ⅱ）求数列

的前

项和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)略
(2)

解析

解：
（Ⅰ）



，



，


 

，又

，



，


数列

是以为

首项，

为公比的等比数列．  …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，即

，  ……………7分




．                                       ………………8分
设

…

，    ①                    …… …………10分
则

…

，②      

            ……………………11分
由①

②得


…

，…………12分




．又

…

．            …………13分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知数列的首项，，….....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。