在等比数列｛｝中，，公比，且， 与的等比中项为2．求数列｛｝的通项公式；设，数列｛｝的前项和为，当最大时，求的值。

题文

在等比数列｛

｝中，

，公比

，且

，

与

的等比中项为2．
（1）求数列｛

｝的通项公式；
（2）设

，数列｛

｝的前

项和为

，当

最大时，求

的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）


（2）n＝8或9

解析

解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以，

+ 2a3a5 +

＝25
又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………3分
又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4
而q

（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，

，a1＝16，所以，


…………………………6分
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。8分
所以，



   …………………………10分
所以，当n≤8时，

＞0，当n＝9时，

＝0，n＞9时，

＜0，
当n＝8或9时，



最大。 …………………………13分

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列｛｝中，，公比，且， 与的等比.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。