(本小题满分14分)已知数列的各项满足：，.(1) 判断数列是否成等比数列；求数列的通项公式；(3)若数列为递增数列，求的取值范围.

题文

(本小题满分14分)
已知数列

的各项满足：



，

.
(1) 判断数列

是否成等比数列；
（2）求数列

的通项公式；
(3) 若数列

为递增数列，求

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)不是
2)


(3)

解析

解：（1）




，                            ……………………………1分


．                          ……………………………2分
当

时，

，则数列

不是等比数列；……………………………3分


当

时，

，则数列

是公比为

的等比数列．…………………4分
（2）由（1）可知当

时，

，


．                        ……………………………6分 
当

时，

，也符合上式，                    ……………………………7分 
所以，数列

的通项公式为

．……………………………8分
(3)




．          ……………………………9分
∵

为递增数列，
∴

恒成立．       ……………………………11分
①当

为奇数时，有

，即

恒成立，
由

得

．           

     ……………………………12分
②当

为偶数时，有

，即

恒成立，
由

，得

．     

         ……………………………13分
故

的取值范围是

．                            ……………………………14分

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分14分)已知数列的各项满足：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。