在等比数列｛an｝中，首项为，公比为，表示其前n项和．记=A，= B，= C，证明A，B，C成等比数列；若，，记数列的前n项和

题文

（本小题满分15分）
在等比数列｛a_n｝中，首项为

，公比为

，

表示其前n项和．
（I）记

=A，

= B，

= C，证明A，B，C成等比数列；
（II）若

，

，记数列

的前n项和为

，当n取何值时，

有最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（I）当

时，

，

，

，可见A，B，C成等比数列；                            ————2分
当

时，

，

，

．
故有

，

．可得

，这说明A，B，C成等比数列．
综上，A，B，C成等比数列．                    ————7分
（II）若

，则

，与题设矛盾，此情况不存在；
若

，则

，故有

，解得

．——9分
所以

，可知

．所以数列

是以

为首项，1为公差的等差数列．
令

，即

．     
因为

，所以

，——

12分
即得

,
可知满足

的最大的n值为11.
所以，数列

的前11项均为负值，从第12项开始都是正数．因此，当

时，

有最小值．  ————15分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分15分）在等比数列｛an｝中.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。