(本小题满分13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2-(+1)an(n≥1)．求证：数列{}是等比数列；设数列{2nan}的前n项和为Tn

题文

(本小题满分13分)
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2-(

+1)a_n(n≥1)．
（1）求证：数列{

}是等比数列；
（2）设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，A_n=

.试比较A_n与

的大小。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=

，                 

              1分
由S_n=2-(



+1)a_n得S_n-1=2-(

+1)a_n-1，
于是a_n=S_n- S_n-1=(

+1)a_n-1-(

+1)a_n，
整理得

=

×

（n≥2）,                                    4分
所以数列{

}是首项及公比均为

的等比数列.                       5分
（2）由（Ⅰ）得

=

×

=

.                            6分
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=

，                           7分


_，
A_n=2[（1-

）+（

-

）+…+

=2（1-

）=

.
9分
又

=

,问题转化为比较

与

的大小,即

与

的大小.
设f(n)=

，g(n)=

.
∵f(n+1)-f(n)=

，当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,
∴当n≥3时f(n)单调递增，                                        11分
∴当n≥4时，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴当n≥4时f(n) >g(n)，
经检验n=1,2,3时，仍有f(n) ≥g(n)，
因此，对任意正整数n，都有f(n) >g(n),
即A_n <

.                                                    13分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分13分)已知数列{an}的前.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。