本小题满分14分已知：数列，中，,，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列.求数列，的通项公式；求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式≥恒成立

题文

本小题满分14分
已知：数列

，

中，

,

，且当

时，

，

，



成等差数列，

，

，

成等比数列.
（1）求数

列

，

的通项公式；
（2）求最小自然数

，使得当

时，对任意实数



，不等式



≥





恒成立；


（3）设

（

），求证：当

都有

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

【解】（1）依题意2

=

+

,

=

.又∵

，

，∴

≥0，

≥0 ,
且

,∴

（

≥2）,
∴数列

是等差数列，又

,∴

,

也适合.
∴

，

.   ………………4分
(2) 将

，

代入不等式



≥





  （

）
整理得：

≥0        ………………………6分
令



，则

是关于

的一次函数，由题意可得

，   
∴

 ，解得

≤1或

≥3. ∴存在最小自然数

，
使得当

≥

时，不等式（

）恒成立.        …………8分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“ 本小题满分14分已知：数列，中，,，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。