.已知数列是正数组成的数列，其前n项和为，对于一切均有与2的等差中项等于与2的等比中项。计算并由此猜想的通项公式；用数学归纳法证明中你的猜想。

题文

.已知数列

是

正数组成的数列，其前n项和为

，对于一切

均有

与2的等差中项等于

与2的等比中项。
（1）计算

并由此猜想

的通项公式

；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由

得

可求得

，┈5分
由此猜想

的通项公式

。 ┈┈┈7分
（2）证明：①当

时，

，等式成立； ┈┈┈9分
②假设当

时，等式成立，即

， ┈┈┈11分





当

时，等式也成立

。 ┈┈┈13分
由①②可得

成立。 ┈┈┈15分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“.已知数列是正数组成的数列，其前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。