已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7，(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点

题文

已知f(x)＝x²－2(n＋1)x＋n²＋5n－7，
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b_n}，求{b_n}的前n项和S_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)证明：∵f(x)＝[x－(n＋1)]²＋3n－8，
∴a_n＝3n－8，
∵a_n＋1－a_n＝3，∴{a_n}为等差数列．
(2)∵b_n＝|3n－8|，
当1≤n≤2时，b_n＝8－3n，b₁＝5.
S_n＝＝.
当n≥3时，b_n＝3n－8，
S_n＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n－8)
＝7＋＝.
∴S_n＝  

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。