已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为，则函数=－的值域为A．B．[，+∞）C．D．[，－1）

题文

已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为

，则函数

=

－

的值域为A．（

，+∞）B．[

，+∞）C．（

，－1）D．[

，－1） 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

解析

分析：由题意先设出三边为a、xa、x²a、x＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，分公比大于1与公式在小于1两类解出公比的取值范围，此两者的并集是函数y=x²-

x的定义域，再由二次函数的性质求出它的值域，选出正确选项．
解：设三边：a、xa、x²a、x＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即
（1）当x≥1时a+ax＞ax²，等价于解二次不等式：x²-x-1＜0，由于方程x²-x-1=0两根为：

和

，
故得解：

＜q＜

且x≥1，
即1≤x＜


（2）当x＜1时，a为最大边，xa+x²a＞a即得x²+x-1＞0，解之得x＞

或x＜-

且x＞0
即x＞


综合（1）（2），得：x∈（

，

）
又y=x²-

x的对称轴是x=

，故函数在（

，

）是减函数，在（

，

）是增函数
由于x=

时，y=-

；x=

与x=

时，y=-1
所以函数y=x²-

x的值域为[-

，-1）
观察四个选项知应选D
故选D

考点

据考高分专家说，试题“已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。