设各项为正的数列，其前项和为，并且对所有正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.写出数列的前二项； 求数列的通项公式；令，求

题文

设各项为正的数列

，其前

项和为

，并且对所有正整数

，

与2的等差中项等于

与2的等比中项.
（1）写出数列

的前二项；    
（2）求数列

的通项公式（写出推证过程）；
（3）令

，求

的前

项和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意可

得

，∴

，解得：

； （2分）


，解得：

；                        （4分）
（2）由

得

，当

时，

,化简得:


即

  又

 ∴

，            （7分）
因此数列

是以2为首项，4为公差的等差数列，故

           （8分）
（3）由

，得

  
记

，其

项和记为

，则

，         ……①            

，……② 
①-② 得 

           


        

                          
∴ 

           （11分）
∴

    


                                 （12分）

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“设各项为正的数列，其前项和为，并且对所有.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。