已知点的序列An，n∈Ｎ*，其中xl＝0，x2＝a，A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段

题文

（本小题满分10分）
已知点的序列A_n（x_n，0），n∈Ｎ^*，其中x_l＝0，x₂＝a（a＞0），A₃是线段A_lA₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，…．
（1）写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式（n≥３）；
（2）设a_n＝x_n＋1－x_n，计算a_l，a₂，a₃，由此推测数列｛a_n｝的通项公式，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当n≥3时，x_n=

．…………………4分
（2）a₁=x₂－x₁=a，a₂=x₃－x₂=

－x₂=－

（x₂－x₁）=－

a，
a₃=x₄－x₃=

－x₃=－

（x₃－x₂）=－

（－

a）=

a，
由此推测：a_n=（－

）^n－1a（n∈N^*）．…………………7分
证明如下：因为a₁=a＞0，且a_n=x_n+1－x_n=

－x_n=

=－

（x_n－x_n－1）
=－

a_n－1（n≥2），所a_n=（－

）^n－1a．…………………10分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分10分）已知点的序列An（x.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。