题文
已知数列
，
.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）数列
中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设
，其中
为常数，且
，
，求
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：⑴∵
=
，∴
，
∵
∴
为常数∴数列
为等比数列
⑵取数列
的连续三项
，
∵
，
，∴
，即
，
∴数列
中不存在连续三项构成等比数列；
⑶当
时，
，此时
；
当
时，
为偶数；而
为奇数，此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
，发现
符合要求，下面证明唯一性（即只有
符合要求）。
由
得
，
设
，则
是
上的减函数，∴
的解只有一个
从而当且仅当
时
，即
，此时
；
当
时，
，发现
符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有
符合要求）。
从而当且仅当
时
，即
，此时
；
综上，当
，
或
时，
；
当
时，
，
当
时，
。
解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知数列，.（1）求证：数列为等比数列；.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
