(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=(3n+Sn)对一切正整数n成立证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式

题文

(本题满分12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

(3n+S_n)对一切正整数n成立
（1）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设

，求数列

的前n项和B_n； 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3(n+1),两式相减并整理得：a_n+1=2a_n+3     
所以3+ a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+ a₁=6

，进而可知a_n+3


所以

，故数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+a_n=6

,即a_n=3(

)
（2）


设

         （1）


     （2）
由（2）-（1）得

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本题满分12分)已知数列{an}的前n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。