已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足=2(a>0，且a≠1)，设y3="18," y6=12.数列{yn}的前多少项和最大，

题文

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足

=2(a>0，且a≠1)，设y₃="18," y₆=12.
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得当n>M时，x_n>1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由；
（3）令



试比较

的大小. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知{x_n}为等比数列，且x_n>0，又y_n=2log_ax_n，则y_n+1-y_n=2log_ax_n+1-2log_ax_n=2log_a

, …………………………………………….3分
∵{x_n}为等比数列，则

为常数，∴y_n+1-y_n为常数，∴{y_n­}为等差数列，设公差为d.则y₆-y₃=3d="12-18=-6." ∴d=-2. …………………………………………………5分
∴y_n=y₃+(n-3)×d=18+(n-3)×(-2)=24-2n, ∴y₁=22,
S_n=

，显然n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132. ………………………………………………………7分
（2）∵y_n­=24-2n=2log_ax_n, ∴x_n=a^12-n，又x_n>1，即a^12-n>1.当a>1时，12-n>0，即n<12.当0<a<1时，12-n<0，即n>12.∴当0<a<1时，存在M=12时，当n>M时x_n>1恒成立. ……………………………………………………11分
（3）

=

, ∵

在(13, +∞)上为减函数，∴

 ……………………………………………14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。