设数列的前n项和为，求证：数列是等比数列；若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由。（

题文

设数列

的前n项和为

，


（1）求证：数列

是等比数列；
（2）若

，是否存在q的某些取值，使数列

中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由。
（3）若

，是否存在

，使数列

中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）n=1时，

，                   


时，

（n=1也符合） 


，

，即数列

是等比数列。  
（2）若

则

  
可设

，两边同除以

得：


因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在。
（3）若

则

  
可设

，

，

，



不成立。

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前n项和为，（1）求证：数列是等.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。