在等比数列中，求数列的通项公式；设数列的前项和为，求

题文

（本小题满分12分）在等比数列

中，


（1）求数列

的通项公式；
（2）设数列

的前

项和为

，求

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意

∴a_n＝2·2^n－1＝2ⁿ．                                        …4分
（Ⅱ）S_n＝

＝2(2ⁿ－1)，                                     …6分
所以
S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)]，
设T_n＝2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ，                                     ①
则2T_n＝2²＋2·2³＋…＋n·2^n＋1，                              ②
①－②，得
－T_n＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝

－n·2^n＋1＝(1－n)2^n＋1－2，
∴T_n＝(n－1)2^n＋1＋2，                                               …9分
∴S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(n－1)2^n＋1＋2]－n(n＋1)
＝(n－1)2^n＋2＋4－n(n＋1)．                                …12分

解析

本题考查等比数列的通项公式和数列求和问题。考查学生的计算能力和分析问题的能力，第一问利用基本量思想解决，第二问主抓数列的通项公式采用分组求和的方法求解.

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）在等比数列中，（1）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。