(本小题满分12分)已知数列(an}中，a1=2，前n项和Sn满足Sn+l－Sn=2n+1(n∈N*)．(Ⅰ)求数列(an}的通项公式an以及前n项和Sn；(Ⅱ

题文

(本小题满分12分)
已知数列(a_n}中，a₁=2，前n项和S_n满足S_n+l－S_n=2ⁿ⁺¹(n∈N^*)．
(Ⅰ)求数列(a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
(Ⅱ)令b_n=2log₂a_n+l，求数列{

}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由S_m+1－S_n=2ⁿ⁺¹得：a_n+1=2ⁿ⁺¹.       ……2分
又a₁=2，所以a_n=2ⁿ(n∈N^*).               ……3分
从而S_n=2+2²+…+2ⁿ=

              ……5分
==2ⁿ⁺¹－2.                              ……6分
(2)因为b_n=2log₂a_n+1=2n+1,                   ……7分
所以

＝

＝

（

－

），  ……9分
于是T_n＝

[(

－

)＋（

－

）＋…＋（

－

）] ……10分
=

(

－

)                                           ……11分
＝

.                                               ……12分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知数列(an}中，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。