已知数列｛an}满足：a1＝1，＝2(n十1)an＋n，，若，试证明数列｛bn}为等比数列；求数列｛an}的通项公式an与前n项和S

题文

已知数列｛a_n}满足：a₁＝1，

＝2(n十1)a_n＋n（n＋1），（

），
（I）若

，试证明数列｛b_n}为等比数列；
（II）求数列｛a_n}的通项公式a_n与前n项和Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)

，               ………2分


，即

，


,

是以2为首项，2为公比的等比数列.           ………5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知

               ………7分
∴







.               ………9分
令

，
则

，
两式相减得：

，


.                      ………11分
∴

.                              ………12分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知数列｛an}满足：a1＝1，＝2(n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。