数列的前项和满足(，且).数列满足.(Ⅰ)求数列的前项和；若对一切都有，求的取值范围.

题文

数列

的前

项和

满足

(

，且

).数列

满足

.
(Ⅰ)求数列

的前

项和

；
（Ⅱ）若对一切

都有

，求

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

本试题主要考察了数列的前n项和与其通项公式的关系的运用，以及证明数列的单调性的综合运用。
解：（Ⅰ）当

时

，

解得



     
当

≥2时

…………2分


 

，


，两式相减得


   

                          
所以数列

是首项为

，公比为

的等比数列


  
从而

                 




……

=

 
设

……+

，则






……＋



，




   




（Ⅱ）由

可得
① 当

时，由

 可得

，

 




对一切

都成立，

此时的解为

.  
② 当

时，由

可得






≥

 



对一切

都成立，


       

.

考点

据考高分专家说，试题“数列的前项和满足(，且).数列满足.(Ⅰ.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。