已知函数，数列满足(1)用数学归纳法证明：；证明：

题文

已知函数

，数列

满足


(1)用数学归纳法证明：

；
（2）证明：

          题型：未知 难度：其他题型

答案

见解析

解析

本试题主要考查了数列的运用。
解：（Ⅰ）证明：当

 因为a₁=1，所以


下面用数学归纳法证明不等式


（1）当n=1时，b₁=

，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么 




所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，


所以 




 


故对任意

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，数列满足(1)用数学归纳法证明.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。