已知数列的前n项和，满足：三点共线．求的通项公式；设，若数列为等比数列，求a的值；在满足条件的情形下，设，数列的前n项和

题文

已知数列

的前n项和

，满足：

三
点共线（a为常数，且

）．
（Ⅰ）求

的通项公式；
（Ⅱ）设

，若数列

为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设

，数列

的前n项和为

，是否存在最小的整数m，使得任意的n均有

成立？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

； （Ⅱ）

；（III）

．

解析

（1）

三点共线，则

，
（2）在解答题中，当有多个问题时，通常前面问题的结论可为后面的问题提供帮助，如本题中将（1）中的

 代入（2）

，即可得

。
解：（Ⅰ）由已知可得




∴


当

时，




，即

是等比数列． ∴

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，
若

为等比数列，则有


而


故

，解得

，
再将

代入得

成立，
所以

；
（III）证明：由（Ⅱ）知

，






易知

其单调递减，


，


存在最小的整数

．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前n项和，满足：三点共线（a为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。