( 14分）在数列，中，，且，，成等差数列，，，成等比数列求,,及,,，由猜测数列，的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；

题文

( 14分）在数列

，

中，

，

且

，

，

成等差数列，

，

，

成等比数列（

）
（1）求

,

,

及

,

,

，
（2）由（1）猜测数列

，

的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

 
（2）猜测

 用数学归纳法证明 （见解析）.

解析

（1）由题意得

把

分别代入可求得


（2）根据前几项的规律，易猜到

用数学归纳法证明时一定要用归纳假设的结论.
由条件得

由此可得


 
猜测

 
用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即

那么当n=k+1时，



所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知

对一切正整数都成立.   

考点

据考高分专家说，试题“( 14分）在数列，中，，且，，成等差数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。