已知数列{an},a1=2a+1(a≠-1的常数),an=2an-1+n2-4n+2(n≥2,n∈N∗),数列{bn}的首项, b1=a,bn=an+n2(n≥

题文

已知数列{a_n},a₁=2a+1(a≠-1的常数),a_n=2a_n-1+n²-4n+2(n≥2,n∈N^∗),数列{b_n}的首项, b₁=a,b_n=a_n+n²(n≥2,n∈N^∗).
(1)证明:{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列并求{b_n}通项公式;
(2)设S_n为数列{b_n}的前n项和,且{S_n}是等比数列,求实数a的值;(3)当a>0时,求数列{a_n}的最小项. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）

；（2）

 。
（3）当

时，最小项为8a-1； 当

时，最小项为4a；当

时，最小项为2a+1。   当

时，最小项为4a或8a-1当

时，最小项为4a或2a+1；

解析

b_n=a_n+n²
所以构造出

，化简成与b_n的代数式；

是等比数列，∴3a+4=0；

分类讨论，a_n单调性
解：




(n≥2)


，∵

,

,即

从第2项起是以2为公比的等比数列


（2）由（1）求得

 ∵

是等比数列, ∴3a+4=0，即

 。
（3）由已知当

时，

，所以

,
所以数列

为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。
当

时，最小项为8a-1； 当

时，最小项为4a；当

时，最小项为2a+1。   
当

时，最小项为4a或8a-1当

时，最小项为4a或2a+1；

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an},a1=2a+1(a≠-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。