已知某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，且每年新建住房中，中低

题文

已知某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，且每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。
(1) 到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2011年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米?
(2) 到哪一年底，该年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％?
（参考数据：

） 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
（2）到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％． 

解析

本试题主要是考查了等差数列在实际生活中的运用。等差数列的通项公式和前n项和，以及等比数列的通项公式的运用。
（1）分析出中低价房面积形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，其中a₁=250，d=50，可知前n项和。结合不等式得到结论。
（2）根据题意可知新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知 {b_n}是等比数列，其中b₁=400，q=1．08，，然后借助于等比数列的知识解决。
(1)设中低价房面积形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，其中a₁=250，d=50，则S_n= 250n+

×50=25n²+225n， 令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10．到 2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
（2）设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知 {b_n}是等比数列，其中b₁=400，q=1．08，则b_n=400·(1．08)^n-1·0．85．由题意可知a_n>0．85b_n，有
250+ (n-1)·50>400·(1．08)^n-1·0．85，即20+ 5n>34(1．08)^n-1 ，即4+ n>6.8(1．08)^n-1
经检验，满足上述不等式的最小正整数n=6．到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％．

考点

据考高分专家说，试题“已知某市2011年新建住房400万平方米.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。