已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列{a3n}的前n项的积

题文

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄、S₁₀、S₇成等差数列.
(I )求证而a₃,a₉,a₆成等差数列；
(II)若a₁=1，求数列{a³_n}的前n项的积 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

成等差数列. (Ⅱ)

.

解析

本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的前N项和、通项公式及等差的概念，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力
（Ⅰ）

当

时，

所以

 …………..2分


,得




 ，…….4分
则

，

，所以

成等差数列.  ………6分
(Ⅱ)依题意设数列

的前

项的积为

,


=

     

=




=

，…………………8分
又由（Ⅰ）得

，

，解得

.……10分
所以

.

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。