题文
（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，且
；数列
为等差数列，且
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
为数列
的前
项和，求证：
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，和求和的综合运用。（1）因为数列
的前
项和为
，且
；数列
为等差数列，且
则根据已知找到前n项和与通项公式的关系，得到数列
的通项公式；以及
的通项公式。
（2）因为
为数列
的前
项和，数列
为等差数列，公差
可得
从而
,然后利用错位相减法得到和式，并放缩证明不等式。
解：（1）由
，令
则
，又
，
所以
，则
.
当
时，由
，可得
，
即
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
于是
………………………………………………………………5分
（2）证明：数列
为等差数列，公差
可得
从而
,
……………………10分
从而
………………………………………………12分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设数列的前项和为，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
