(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色

题文

(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
⑴ 如图1，圆环分成的3等份为a₁，a₂，a₃，有多少不同的种植方法？
如图2，圆环分成的4等份为a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的种植方法？
⑵ 如图3，圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃，……，a_n，有多少不同的种植方法？


题型：未知 难度：其他题型

答案

)⑴如图1，先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。
如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。
⑵

解析

本试题主要考查了排列组合的运用，解决实际问题，同时也考查了数列的求和的运用，数列的概念的综合试题。
（1）先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分
如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）
（2）圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、…、a_n都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色.
于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为

种. 另一类是a_n与a₁同色的种法，这时可以把a_n与a₁看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为

.共有3×2^n－1种种法
因此可得到

，进而分析求解。
)⑴如图1，先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分
如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。………………………………………6分
⑵如图3，圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、…、a_n都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色.
于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为

种. 另一类是a_n与a₁同色的种法，这时可以把a_n与a₁看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为

.
共有3×2^n－1种种法.………………………………………………………………9分
这样就有

.即

，
则数列

是首项为

公比为－1的等比数列.……………10分
则


由⑴知：

，∴

.
∴

.………………………………………………………12分
答：符合要求的不同种法有

……………………………13分

考点

据考高分专家说，试题“(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。