设数列的前项和为，且.求求证：数列是等比数列；求数列的前项和.

题文

设数列

的前

项和为

，且

.
（1）求


（2）求证：数列

是等比数列；
（3）求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁="3" a₂="8" a₃=18（2）见解析（3）T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×

解析

（1）令n=1,2,3，根据

求出


(2)根据

，得到

,两式相减可得


,所以

,问题到此基本得以解决.
(3)在（2）的基础上，求出

的通项公式,再根据通项公式的特点选用合适的数列求和的方法求和即可.
解：(1)由题意，当n=1时，得2a₁=a₁+3,解得a₁=3
当n=2时，得2a₂=(a₁+a₂)+5,解得a₂="8"
当n=3时，得2a₃=(a₁+a₂+a₃)+7,解得a₃="18"
所以a₁=3,a₂=8,a₃=18为所求.·························· 3分
(2)因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立
两式相减得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2
所以a_n+1=2a_n+2(n

N^*)，即a_n+1+2=2(a_n+2)
所以数列{a_n+2}是以a₁+2=5为首项，公比为2的等比数列·············· 7分
(3)由(2)得：a_n+2=5×2^n-1,即a_n=5×2^n-1-2(n

N^*)
则na_n=5n·2^n-1-2n(n

N^*)··························· 8分
设数列{5n·2^n-1}的前n项和为P_n,
则P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×(n-1)·2^n-2+5×n·2^n-1,········· 10分
所以2P_n=5×2×2¹+5×3×2²+5×3×2³+…+5(n-1)·2^n-1+5×n·2ⁿ,
所以-P_n=5(1+2¹+2²+…+2^n-1)-5n·2ⁿ,
即P_n=(5n-5)·2ⁿ+5(n

N^*)·························· 12分
所以数列{n·a_n}的前n项和T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×

,
整理得，T_n=(5n-5)·2ⁿ-n²-n+5(n

N^*)   13分

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，且.（1）求（2）求证.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。