题文
设数列
为等比数列，数列
满足
，
，已知
，
，其中
.
(Ⅰ) 求数列
的首项和公比；
(Ⅱ) 当
时，求
；
(Ⅲ) 设
为数列
的前
项和，若对于任意的正整数
，都有
，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(Ⅰ) 由已知
，所以
，
， 所以
，
解得
，所以数列
的公比
.……………………………2分
(Ⅱ) 因为
，
，……………①
，……………②
②
①得
，…………………………4分
所以
，
当
时，
.………………………………6分
(Ⅲ)
，………………………………7分
因为
，所以，由
得
，
注意到，当
为奇数时
，当
为偶数时
，
所以
最大值为
，最小值为
.………………………………9分
对于任意的正整数
都有
，
所以
，
.
即所求实数
的取值范围是
.……………………………………10分
解析
本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列前n项和的运用。（1）因为设数列
为等比数列，数列
满足
，
，已知
，
，其中
，那么可知由已知
，所以
，
， 所以
，
解得
，所以数列
的公比
（2）利用错位相减法得到数列bn的公式。
（3）设
为数列
的前
项和，若对于任意的正整数
，都有
因为
，可以解得。
考点
据考高分专家说，试题“设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
