题文
已知点（1, 2）在函数
（
且
）的图象上，等比数列
的前
项和为
,数列
的首项为c，且其前
项和
满足 2
=
.
（1）求数列
和
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
解析
(1)因为点（1, 2）是函数（
且
）的图象上,据此可求出
,因而确定
.
∵数列
的前
项和为
,所以可得
,根据
成等比数列，可建立关于c的方程求出c值.进而得到公比q=2.所以
.
再根据
可得到
,
因为
,可得
,进而得到
的通项公式.
∵点（1, 2）是函数
（
且
）的图象上，
∴
，∴
…………………… 1分
∵数列
的前
项和为
，∴
，
，
又数列
是等比数列，
，∴
，公比
，……… 4分
………………………………5分
当
，
，
，
∵
，∴
，∴
……… 7分
所以数列
是首项是2，公差是1的等差数列，其通项公式为：
………………………………8分
（2）解本小题的关键是先得到
．
然后转化成
，再采用裂项求和的方法求和即可.
解：由（1），得
．………………………9分
所以
．………11分
所以
．
……………………………13分
故数列
的前
项和
．…………………………14分
考点
据考高分专家说，试题“已知点（1, 2）在函数（且）的图象上，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
