已知数列满足,若，求；是否存在,使当时，恒为常数.若存在求，否则说明理由；

题文

已知数列

满足

,
（1）若

，求

；
（2）是否存在

,使当

时，

恒为常数.若存在求

，否则说明理由； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

其中


（2）存在三组

和

：


时，

； 

时，

；

时，

其中

解析

(1)根据递推关系可由a₁,分别求出a₂,a₃,a₄,然后归纳出a_n的通项公式.
（2）本小题难度偏大，应从特值出发探索，做此类问题应有较强的计算能力，逻辑分析能力，和扎实的数学基本功，还要有坚强的意志.
解：（1）

2分


时，

，其中

` ………….6分
(2)因为存在

，所以当

时，


①若

，则

，此时只需：


故存在

 ……………..8分  
②若

 不符合题意………………9分
③若

，不妨设

,易知

，





时，

…………….11分
④若

，不妨设

，易知







则

  ………..13分
故存在三组

和

：


时，

； 

时，

；

时，

其中

…………14分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足,（1）若，求；（2）是否存.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。