已知数列中,,其前项和满足:,令.(1) 求数列的通项公式；(2) 若,求证:;(3) 令,问是否存在正实数同时满足下列两个条件?①对任意,都有；②对任意的,均

题文

已知数列

中,

,其前

项和

满足:

,令


.
(1) 求数列

的通项公式；
(2) 若

,求证:

;
(3) 令

,问是否存在正实数

同时满足下列两个条件?
①对任意

,都有

；
②对任意的

,均存在

,使得当

时总有

.
若存在,求出所有的

; 若不存在,请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

.   (2)略   (3)存在正实数

符合题意.

解析

本试题主要是考查了数列的求和和数列的通项公式的运用，不等式的证明。
（1）由

得


即

,移项得

,
∴

,这

个等式叠加可得
可得结论，
（2）由(1)知

,
又

, ∴

故相加得证。
（3）当

时,


,
∴

.
由2)知

,即

, 而此时

，可见存在实数a=2满足题意

考点

据考高分专家说，试题“已知数列中,,其前项和满足:,令.(1).....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。