已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a1=1，，，数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列．求证：数列为等差数列；若，求数列的前n项和

题文

已知函数

(x≥4)的反函数为

，数列

满足：a₁=1，

，（

N*），数列

，

，

，…，

是首项为1，公比为

的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列

为等差数列； （Ⅱ）若

，求数列

的前n项和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）

．

解析

(I)反解x,可得



(x≥0),
所以



,从而可得

（

N*）,由等差数列的定义可知数列

是等差数列.
(II)由题意可知当n≥2时，

,然后采用叠加的办法求出

,从而确定



,然后采用错位相减的方法求和.
（Ⅰ）∵



(x≥4)，
∴



(x≥0)，
∴



，
即

（

N*）．
∴数列

是以

为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

，即


（

N*）．
b₁=1，当n≥2时，

，
∴







因而

，

N*．




，
∴







令



              ①
则



     ②
①-②，得






 
∴

．又

．
∴

．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。