已知等比数列满足，且是与的等差中项；求数列的通项公式；若，，求使不等式成立的的最小值；

题文

（本题满分9分）已知等比数列

满足

，且

是

与

的等差中项；
（Ⅰ）求数列

的通项公式；   （Ⅱ）若

，

，
求使不等式

成立的

 的最小值； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

  ；（2）

的最小值为

 。

解析

(I)设等比数列

的首项为

，公比为

，根据

，且

是

与

的等差中项建立关于a₁和q的方程,求出a₁和q的,确定

的通项公式.
(II)在(I)的基础上,可得

,然后再采用分组求和的方法求出S_n,再解关于n的不等式

,解出n的范围,求出n的最小值.
解：（1）设等比数列

的首项为

，公比为

，
则有

 ①    

  ②
由①得：

，解得

或

（不合题意舍去） 
当

时，代入②得：

；  所以

         …4分
（2）


所以






     …7分
因为

      代入得

，  解得

或

（舍去）
所以所求

的最小值为

        …9分

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分9分）已知等比数列满足，且是与.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。