设数列的前项和为已知设，证明数列是等比数列；求数列的通项公式.

题文

设数列

的前

项和为

 已知




（I）设

，证明数列

是等比数列；     
（II）求数列

的通项公式.

题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）见解析；（II）

 。

解析

此题主要考查了等比数列的性质及其前n项和，运用了错位相减法求数列{an}的前n项和，这个方法是高考中常用的方法，同学们要熟练掌握它
（Ⅰ）由题意只要证明bnbn-1
为一常数即可，已知S_n+1=4a_n+1，推出b₁的值，然后继续递推相减，得a_n+1-2an=2（a_n-2a_n-1），从而求出bn与bn-1的关系；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{bn}是等比数列，可得bn}的通项公式，从而证得数列{a_n

2n }是首项为1

2 ，公差为1 2 的等差数列，最后利用错位相减法，求出数列{an}的通项公式
解：（I）由

及

，有


 


由

，．．．① 则当

时，有

．．．．．②
②－①得


又

，




是首项

，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得

，




数列

是首项为

，公差为

的等差数列．




，

 

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。