题文
已知数列
和
满足：
,
其中
为实数，
为正整数．
（Ⅰ）对任意实数
，证明数列
不是等比数列；
（Ⅱ）对于给定的实数
，试求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）设
，是否存在实数
，使得对任意正整数
，都有
成立? 若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
（Ⅲ）
存在实数
，
的取值范围是
解析
(1)假设存在一个实数，使
是等比数列，由题意知
，矛盾，所以不是等比数列.
(2)由题设条件知
，故当
时，数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
(3)由题设条件得
，由此入手能够推出存在实数，使得任意正整数n,都有
,
的取值范围为
.
解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数
，使｛
｝是等比数列，
则有
,
即
矛盾．
所以｛
｝不是等比数列． ………………………4分
（Ⅱ）因为
又
，所以
当
，
，此时
当
时，
，
，
此时，数列｛
｝是以
为首项，
为公比的等比数列．
∴
……………………8分
（Ⅲ）要使
对任意正整数
成立，
即
当
为正奇数时，
∴
的最大值为
,
的最小值为
,
于是，由（1）式得
当
时，由
，不存在实数满足题目要求；
当
存在实数
，使得对任意正整数
，都有
,且
的取值范围是
…………………………12分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
