题文
设二次方程
，
有两根
和
，且满足
，
（1）试用
表示
；
（2）证明
是等比数列；
（3）设
，
，
为
的前n项和，证明
，（
）。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）见解析；（3）
解析
本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得
（2）对（1）的结论两边同时减去
，整理即可证：数列{an-
}是等比数列；
（3）先利用（2）求出数列{an-
}的通项公式，即可求数列{an}的通项公式和
，然后利用错位相减法得到结论。
（1）
即
，可推出
，
（2）
，且
∴
是以
为首项，公比为
的等比数列；
（3）
，
两式相减得
整理得
考点
据考高分专家说，试题“设二次方程，有两根和，且满足，（1）试用.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
