已知数列的前项和为且.(1)求证数列是等比数列，并求其通项公式；(2)已知集合问是否存在实数，使得对于任意的都有? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

题文

已知数列

的前

项和为

且

.
(1)求证数列

是等比数列，并求其通项公式

；
(2)已知集合

问是否存在实数

，使得对于任意的

都有

? 若存在，求出

的取值范围；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

；(2) 

。

解析

(1)当n=1时可先求出a₁.
当n>1时，


得



，变形得


从而可得数列

是等比数列,进而可求出其通项公式.
（2）要分a=1和a>1和0(1)当

时，



时，由


得



，变形得


故

是以

为首项，公比为

的等比数列，

---5分
(2)①当

时,

, 只有

时,

, 所以

不合题意 ----7分
②当

时,

   -----9分
③当

时,

,
而

, 对任意






  综上,a的取值范围是

   -------------12分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前项和为且.(1)求证数列是等.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。