已知等差数列的公差，设，若,求数列的通项公式；若，且成等比数列，求的值；若，证明：.

题文

（本小题满分12分）
已知等差数列

的公差

，设

，



（Ⅰ）若

 ,求数列

的通项公式；
（Ⅱ）若

，且

成等比数列，求

的值；
（Ⅲ）若

，证明：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）



；（2）

；（3）见解析。

解析

本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的运用。
（1）由题设，


代入解得

，得到其通项公式。
（2）因为

，且

成等比数列，所以

，

，化简得到结论
（3）由题设，可得

，然后运用错位相减法得到数列的求和。
（1）解：由题设，


代入解得

，所以



      
（2）解：当

成等比数列，所以

，即

，注意到

，整理得


（3）证明：由题设，可得

，则


   ①


   ②
①-②得，


①+②得，

 ③
③式两边同乘以 q，得


所以

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知等差数列的公差，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。