已知函数，数列满足，且．试探究数列是否是等比数列？试证明.

题文

（附加题，10分）已知函数

，数列

满足

，且

．
（1）试探究数列

是否是等比数列？（5分）
（2）试证明

.（5分） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列

是首项为

，公比为

的等比数列. （2）证明：见解析。

解析

本试题主要是考查了等比数列的定义和运用数列的求和证明不等式的运用。
（1）由已知的关系式化简变形得到数列的递推关系，然后分析证明得到。
（2）由（1）知数列

是首项为1，公比为

的等比数列
得到通项公式，进而分析求和，得到证明。
解：（1）由

得


，即

 ----------1分
∴

或

      ∵

，∴

不合舍去.
由

得

，

，（

）--------3分
∴

，
∴数列

是首项为

，公比为

的等比数列. -------------------5分
（2）证明：由（1）知数列

是首项为

，公比为

的等比数列
∴

，∴

， ------------------6分
∴

＝

    ---8分
∵对

有

，
∴

，∴

，即

 ---10分

考点

据考高分专家说，试题“（附加题，10分）已知函数，数列满足，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。